شبیه سازی نیمه رسانا با کامسول
در این پست ما شبیه سازی نیمه رسانا با کامسول قابلیت رابط فیزیک معادله شرودینگر را از توابع موج تک جزئی به توابع موج چند جزئی گسترش داده ایم. این امکان شبیه‌سازی طیف وسیع‌تری از سیستم‌ها را فراهم می‌کند، مانند ذرات با چرخش و ساختار نوار ظرفیت با اختلاط 3 اوربیتال p مانند. در این پست وبلاگ، ما از یک مدل معیار ساده برای نشان دادن نحوه استفاده از این قابلیت تابع موج چند جزئی استفاده می کنیم.
آموزش کامسول ابزار ماتریس همیلتونی
وقتی تابع موج بیش از یک جزء داشته باشد، هامیلتونی به ماتریسی تبدیل می شود که بر روی بردار اجزای تابع موج عمل می کند. به عنوان مثال، معادله شرودینگر وابسته به زمان.
علامت منفی در سمت راست معادله برای عملگر تکامل زمان به این دلیل است که تمام رابط های فیزیک در کامسول به جای قرارداد علامت فیزیک از قرارداد علامت مهندسی استفاده می کنند. بعداً خواهیم دید که علامت عملگر مومنتوم نیز به همین دلیل با آنچه در اکثر کتاب های درسی دیده می شود متفاوت است.
به طور کلی، هر عنصر از ماتریس همیلتونی می تواند شامل چندین عبارت صفر، یک یا دو مشتق جزئی باشد.
در عبارت اول، عملگر دیفرانسیل سمت چپ، بر روی ضریب و مولفه تابع موج عمل می کند. به طور مشابه، عملگر دیفرانسیل در ترم دوم بر روی هر دو و . توجه داشته باشید که همه عملگرهای تکانه با یک علامت منفی با قرارداد معمول، همانطور که قبلاً بحث شد، متفاوت هستند.
تعداد عناصر ماتریس همیلتونی با مجذور تعداد اجزای تابع موج افزایش می یابد. همانطور که در معادله نشان داده شده است، هر عنصر ممکن است حاوی عبارت هایی از مرتبه های مختلف مشتقات جزئی باشد. 2. برای ارائه راه‌های منعطف و کارآمد برای وارد کردن این اصطلاحات به رابط کاربری گرافیکی در اندازه پنجره محدود، تعدادی ویژگی داخلی را از نسخه 5.6 ایجاد کرده‌ایم. در مدل مثال زیر نحوه استفاده از این ویژگی ها را نشان می دهیم.
سیستم مدل
همانطور که در بالا ذکر شد، همه ضرایب موجود در عناصر ماتریس همیلتونی می توانند از نظر مکانی متفاوت باشند. این امر به ویژه در ساختارهای ناهمسان و نانوساختارها مانند سیم های کوانتومی و نقاط کوانتومی صادق است. برای سادگی، ما مدلی از کریستال فله ای صاف شده یکنواخت را انتخاب کرده ایم که در آن همه ضرایب از نظر مکانی یکنواخت هستند. با این وجود، این مدل ساده همچنان به منظور نشان دادن روش ورود عناصر ماتریس همیلتونی به رابط کاربری عمل می کند. علاوه بر این، همچنین به عنوان یک مدل معیار برای تأیید حل عددی با حل تحلیلی این سیستم ساده عمل می کند.
انتخاب متریال مناسب برای شبیه سازی نیمه رسانا با کامسول
نیترید گالیوم (GaN) یک ماده نیمه هادی با گاف باند وسیع برای کاربردهای الکترونیک نوری، توان بالا و فرکانس بالا است. چوانگ و چانگ در سال 1996 مشتق و محاسبه خود را از ماتریس هامیلتونی 6 در 6 برای بلورهای wurtzite از جمله gallium-nitride-semiconductor منتشر کردند (مرجع 1). در معادله در 45 مقاله، ماتریس 6 در 6 همیلتونی مورب بلوک است و ماتریس بالا سمت چپ 3 در 3 خوانده می شود.
روشهای عددی و تحلیلی
در شکل 5 از Ref. 1، پراکندگی باند ظرفیت در امتداد و جهت برای کریستال های صاف نشده و کرنش شده، با تنظیم روی صفر ترسیم شده است. از آنجایی که سیستم های مورد بررسی کریستال های توده ای هستند و فقط اعداد هستند، و همیلتونی (3) به یک ماتریس 3×3 از مقادیر عددی معین مربوط به مقادیر داده شده و کاهش می یابد. مقادیر ویژه این ماتریس را می توان به صورت عددی محاسبه کرد تا ساختار نواری نشان داده شده در شکل را بدست آورد. این رویکرد تحلیلی است که توسط مقاله اتخاذ شده است و برای تأیید رویکرد عددی مورد بحث قرار خواهد گرفت.میتوانید جهت آموزش comsol اقدام کنید.
در یک ساختار غیریکنواخت کلی، مانند چاه‌های کوانتومی و نقاط کوانتومی، اعداد و باید با مشتقات جزئی جایگزین شوند و همانطور که قبلاً ذکر شد، و معادله شرودینگر در صفحه xz حل می‌شود تا ساختار نواری به دست آید. این رویکرد عددی است. البته، این برای سیستم ساده یک کریستال حجیم بیش از حد است. با این حال، به منظور آموزش و تأیید، ما این سیستم ساده را انتخاب کرده ایم. وقتی یاد گرفتید که چگونه از ویژگی های فیزیک برای ساخت این مدل ساده استفاده کنید، می توانید سیستم های پیچیده تری را که فقط با روش عددی قابل حل هستند شبیه سازی کنید. ورودی ماتریس همیلتونی
اکنون، ما آماده ایم تا عناصر ماتریسی همیلتونین 3×3 را وارد کنیم. مجدداً از عنصر در موقعیت (1،1) به عنوان مثال استفاده می کنیم. مشارکت در این عنصر در معادله خلاصه شده است. 11. عبارت اول شامل مشتقات مرتبه دوم است، بنابراین یک شرط دامنه همیلتونی مرتبه دوم را اضافه می کنیم. این ویژگی در کامسول همراه با قابلیت مدیریت توابع موج چند جزء برای رابط فیزیک معادله شرودینگر معرفی شد. مقاله مربوط به شبیه سازی ذرات در سیال کامسول را مطالعه کنید.
ویژگی مرکزی در پنجره تنظیمات برای این شرط دامنه، جدول ورودی Hamiltonian است. دو ستون اول این جدول برای شاخص های سطر و ستون عنصر ماتریس همیلتونی است که باید وارد شود. هر فهرست از یک منوی کشویی انتخاب می شود که به طور خودکار از آن پر می شود.
